Conceptos Básicos de Lógica Matemática

             1)      Lógica. 

Es una ciencia formal que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική logikḗ, que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a su vez viene de λόγος (lógos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio».

 

Se basa en las leyes, modalidades y formas del conocimiento científico se conoce bajo el nombre de lógica. Se trata de una ciencia de carácter formal que carece de contenido ya que hace foco en el estudio de las alternativas válidas de inferencia. Es decir, propone estudiar los métodos  y los principios adecuados para identificar al razonamiento correcto frente al que no lo es.

Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre proposiciones. es aquella acción y efecto de inferir (sacar una consecuencia de otra cosa, deducir algo, conducir a un resultado). La inferencia nace a partir de una evaluación mental entre distintas expresiones, que al ser relacionadas como abstracciones, permiten trazar una implicación lógica.

2)      La Lógica Matemática.

Es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.

3)      La lógica Proposicional.

Es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. Trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades. Si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad de definido), de ahí el nombre proposicional. 

             4)      Proposiciones.

Es una cadena de signos expresados en un determinado lenguaje. En un lenguaje natural, esos signos usualmente son sonidos o caracteres escritos, mientras que un tipo de lenguaje formalizado pueden ser signos arbitrarios. 

En filosofía y lógica, el término proposición se usa para referirse a:

• Las entidades portadoras de los valores de verdad.
• Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.
• El significado de las oraciones declarativas o enunciativas, como «el Sol es una estrella».

Intuitivamente una proposición expresa un contenido semántico a la que bajo cierto procedimiento acordado o prescrito es posible asignarle un valor de verdad (usualmente "cierto" o "falso", aunque en lógica formal se admiten otros valores de verdad diferentes). 

5)      Variables Proposicionales.

En lógica matemática, una variable proposicional (también llamada variable sentencial o letra sentencial) es una variable discreta que puede ser verdadera o falsa. Las variables proposicionales son los bloques de construcción básicos de las fórmulas proposicionales, usadas en lógica proposicional y en lógicas superiores.

Las fórmulas en lógica son comúnmente construidas recursivamente a partir de algunas variables proposicionales, algún número de conectivos lógicos, y algunos cuantificadores lógicos. Las variables proposicionales son las fórmulas atómicas de la lógica proposicional.

Por ejemplo, en una lógica proposicional dada, se podría definir una fórmula de la siguiente manera:

• Cada variable proposicional es una fórmula.
• Dada una fórmula X, su negación ¬X es una fórmula.
• Dadas dos fórmulas X e Y, y un conectivo binario b (como por ejemplo la conjunción ∧), entonces (X b Y) es una fórmula.

             6)      Formalización Lógica

Letras	p, q, r, s
Conectores	·       Negación (no): ¬, ~,- ·       Conjunción (y):  ∧ ·       Disyunción (o):  ∨ ·       Implicación material (Si.. entonces): →, ⇒, ⊃ ·       Bicondicional (si y solo si): ↔
Signos de Agrupación Son los símbolos auxiliares que permiten establecer la jerarquía de los conectivos lógicos y así evitar ambigüedades.	Paréntesis ( )    Llaves { } Corchetes [ ]     Barras   | El orden para resolver y suprimir es: 1º ( Paréntesis ) 2º [ Corchetes ] 3º { Llaves } Es conveniente resolver las operaciones encerradas en los signos de agrupación antes de suprimir. De lo contrario se deben aplicar las reglas de supresión a todos los  términos. Se utilizan para separar funciones lógicas y/o matemáticas por orden molecular. Por ejemplo:  {¬ [(p→q)˄r] ˅ ¬s} indica en este caso, el orden de resolución de cada función lógica.

   

              7)      Razonamiento.

En sentido amplio, se entiende por razonamiento a la facultad que permite resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los hechos, estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos.

En sentido más restringido se puede hablar de diferentes tipos de razonamiento relacionados a las ciencias formales, claro ésta:

• El razonamiento argumentativo en tanto actividad mental se corresponde con la actividad lingüística de argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión lingüística de un razonamiento.
• El razonamiento lógico o causal es un proceso de lógica mediante el cual, partiendo de uno o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro juicio distinto. Es posible distinguir entre varios tipos de razonamiento lógico
• razonamiento deductivo: estrictamente lógico.
• razonamiento inductivo: donde interviene la probabilidad y la formulación de conjeturas.
• razonamiento abductivo: utiliza conjeturas, las cuales buscan ser, a primera vista, la mejor explicación, o la más probable.
• El razonamiento matemático puede referirse tanto al razonamiento formal como al razonamiento no estrictamente formal usado para demostrar proposiciones y teoremas matemáticos.

             8)      Matemáticas.

 

Del latín mathematĭca, y este del griego μαθηματικά, derivado de μάθημα, ‘conocimiento’, es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas o símbolos. Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. 

  

             9)      Matemáticas Discretas.

Es un área de las matemáticas encargadas del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables. En oposición a las matemáticas continuas, que se encargan del estudio de conceptos como la continuidad y el cambio continuo, además estudian estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente. Es decir, los procesos en matemáticas discretas son contables, como por ejemplo, los números enteros, grafos y sentencias de lógica. Son fundamentales para la ciencia de la computación, porque sólo son computables las funciones de conjuntos numerables.